Question

（2012•安徽模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1（a∈R）在x=x₁處取極小值，x=x₂處取極大值，且

x

2 1

=x2．
（1）求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極大值與極小值的和．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，利用

x

2 1

=x2，即可求得滿足條件的a的值；
（2）由（1）知，x₁=-1，x₂=1，求出函數(shù)極小值與極大值，即可求函數(shù)極小值與極大值的和．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=-6x²+6（1-2a）x+12a=-6（x-1）（x+2a）
令f'（x）=0，可得x=1或x=-2a
①若a≤-

1

2

時(shí)，x₁=1，x₂=-2a，由

x

2 1

=x2，可得1=-2a，a=-

1

2

，此時(shí)f′（x）≤0，函數(shù)無極值；
②若a＞-

1

2

時(shí)，x₁=-2a，x₂=1，由

x

2 1

=x2，可得4a²=1，a=

1

2

此時(shí)，x∈（-∞，-1），f′（x）＜0；x∈（-1，1），f′（x）＞0；x∈（1，+∞），f′（x）＜0
滿足條件，綜上知a=

1

2

（2）由（1）知，x₁=-1，x₂=1； f（x₁）=f（-1）=2-12×

1

2

-1=-5，
∴函數(shù)極小值為-5；
f（x₂）=f（1）=-2+12×

1

2

-1=3，
∴函數(shù)極大值為3
∴函數(shù)極小值與極大值的和為-2

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．