Question

11．已知函數$f（x）=sin（2x+\frac{7π}{4}）+cos（2x-\frac{3π}{4}）$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調增區間；
（2）已知$cos（β-α）=\frac{4}{5}$，$cos（β+α）=-\frac{4}{5}$，$0＜α＜β≤\frac{π}{2}$，求f（β）．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式化簡函數解析式為f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{4}$），利用三角函數周期公式可求最小正周期，利用$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，可求函數的單調增區間．
（2）利用兩角和與差的余弦函數公式化簡可得2cosβcosα=0，結合角的范圍可求$β=\frac{π}{2}$，代入即可得解．

解答 解：（1）因為$f（x）=sin（2x+\frac{7π}{4}-2π）+sin（2x-\frac{3π}{4}+\frac{π}{2}）$=$sin（2x-\frac{π}{4}）+sin（2x-\frac{π}{4}）=2sin（2x-\frac{π}{4}）$，
所以T=π，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得單調增區間為$[{kπ-\frac{π}{8}，kπ+\frac{3π}{8}}]$，k∈Z．
（2）∵$cos（β-α）=\frac{4}{5}$，$cos（β+α）=-\frac{4}{5}$，
∴$cosβcosα+sinβsinα=\frac{4}{5}$，$cosβcosα-sinβsinα=-\frac{4}{5}$，
兩式相加，得2cosβcosα=0，
∵$0＜α＜β≤\frac{π}{2}$，
∴$β=\frac{π}{2}$，
由（1）知$f（β）=2sin（2β-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了誘導公式，兩角和與差的余弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了正弦函數的圖象和性質及三角函數周期公式的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．