Question

【題目】設函數，，其中a，.

（1）求的單調區間；

（2）若存在極值點，且，其中，求證：；

（3）設，函數，求證：在區間上的最大值不小于.

Answer 1

【答案】（1）的增區間為，，減區間為；（2）證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）求出的導數，討論時，在R上遞增；當時，由導數大于0，可得增區間；導數小于0，可得減區間；

（2）由條件判斷出，且，由求出，分別代入解析式化簡，，化簡整理后可得證；

（3）設在區間上的最大值M，根據極值點與區間的關系對a分三種情況討論，運用單調性和前兩問的結論，求出在區間上的取值范圍，利用a的范圍化簡整理后求出M，再利用不等式的性質證明結論成立.

（1）若，則，

分兩種情況討論：

①、當時，有恒成立，此時的單調遞增區間為；

②、當時，令，解得或，

當或時，，為增函數，

當時，，為減函數，

故的增區間為，，減區間為；

（2）若存在極值點，則必有，且，

由題意可得，，則，

進而，

又，

由題意及（1）可得：存在唯一的實數，滿足，其中，

則有，故有；

（3）設在區間上的最大值M，表示x、y兩個數的最大值，

下面分三種情況討論：

①當時，，

由（1）知在區間上單調遞減，

所以在區間上的取值范圍是，

因此

，所以。

②當時，，

由（1）、（2）知，，，

所以在區間上的取值范圍是，

因此

，

③當時，，

由（1）、（2）知，，，

所以在區間上的取值范圍是，

因此

，

綜上所述，當時，在區間上的最大值不小于.