Question

設函數f(x)=

a

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))的導數為f′（x）．
（I）當a=1時，證明：f′（x）＞0；
（II）當a=1時，數列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，且a_n+1=f（a_n），求證：0＜a_n+1＜a_n＜1；
（III）若y=f（x）的單調增函數，求正數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）將a=1代入f（x）解析式，利用導數運算法求出f′（x）．轉化為研究f′（x）恒正，考慮它的單調性以此解決函數值域．
（II）由已知不易作差或作商，可考慮數學歸納法證明．
（III）利用導數與單調性的關系求解，a的取值應使f′（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f(x)=

1

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))
g（x）=f′（x）=x-sinx
g（x）=f′（x）=x-sinx，g′（x）=1-cosx≥0對任意x∈（0，+∞）恒成立，所以y=g（x）在∈（0，+∞）上是增函數
故g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上單調遞增．
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，由0＜a₁＜1得f（0）＜f（a₁）＜f（1）=-

1

2

+cos1＜1，故0＜a₂＜1
又a₂=f（a₁）=

1

2

a12+cosa1-1＜

1

2

a12＜a2，
即當n=1時，0＜a2＜a1＜1
②假設n=k（k≥1）時，有0＜a_k+1＜a_k＜1，則當n=k+1時，有f（0）＜f（a_k+1）＜f（a_k）＜f（1）
即0＜a_k+2＜a_k+1＜f（1）＜1
即當n=k+1時命題成立．
由①②知：0＜a_n+1＜a_n＜1對任意正整數都成立．
 （III）由f(x)=

a

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))
得h（x）=f′（x）=ax-sinx，若y=f（x）是單調增函數，f′（x）=ax-sinx＞0恒成立．
①當a≥1時，任意x∈（0，+∞）恒有ax≥x＞sinx，此時f′（x）=ax-sinx＞0
∴y=f（x）在（0，+∞）是單調增函數．
②當0＜a＜1時，h′（x）=a-cosx=0得cosx=a，在（0，

π

2

）上存在x₀使得cosx₀=a
當x∈（0，x₀）時h′（x）=a-cosx＜0，h（x）=f′（x）＜f（0）=0這與任意x∈（0，+∞）恒成立矛盾
綜上a≥1為所求．

點評：本題是函數與不等式、數列，三角的綜合性題目．考查函數的求導運算，單調性與導數關系的應用，不等式的證明方法，數學歸納法，三角函數的有界性，分類討論思想．需要較強的分析解決問題的能力．此題盤整了中學的重要數學知識和思想方法，是難題，也是好題．可細心體會．