Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

，求f（B）的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，因為b²+c²-a²=bc，由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA 可得cosA的值，從而求得A的值．
（Ⅱ）利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 sin(x+

π

6

)+

1

2

，根據(jù)A的值求得f（B）的最大值 以及B的值，由此可得△ABC的形狀．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因為b²+c²-a²=bc，由余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA  可得cosA=

1

2

．
∵0＜A＜π，（或?qū)懗葾是三角形內(nèi)角）∴A=

π

3

．
（Ⅱ）f(x)=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin(x+

π

6

)+

1

2

，
∵A=

π

3

，∴B∈(0，

2π

3

)，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

．
∴當(dāng)B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

時，f（B）有最大值是

3

2

．
又∵A=

π

3

，∴C=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形．

點評：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．