Question

現有下列命題：
①設a，b為正實數，若a²-b²=1，則a-b＜1；
②已知a＞2b＞0，則a2+

8

b(a-2b)

的最小值為16；
③數列{n(n+4)(

2

3

)n}中的最大項是第4項；
④設函數f(x)=

lg|x-1|，x≠1 0，x=1

，則關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有4個解．
⑤若sinx+siny=

1

3

，則siny-cos²x的最大值是

4

3

．
其中的真命題有

①②③

．（寫出所有真命題的編號）

Answer 1

分析：①將a²-b²=1，分解變形為（a+1）（a-1）=b²，即可證明a-1＜b，即a-b＜1；
②先利用基本不等式求得2b（a-b）范圍，進而代入原式，進一步利用基本不等式求得問題答案．
③求數列的最大值，可通過做差或做商比較法判斷數列的單調性處理．
④題中原方程f²（x）+2f（x）=0有多少個不同實數解，即要求對應于f（x）=0和f（x）=-2有幾個不同實數解，故先根據題意作出f（x）的簡圖：由圖可知，當f（x）=0時，它有三個根，當f（x）=-2時，它有二個根．故關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有且只有5個不同實數解．
⑤由題意得siny=

1

3

-sinx，且-1≤

1

3

-sinx≤1，得到sinx的取值范圍，把所求的式子配方利用二次函數的性質求出其最大值．

解答：解：①若a²-b²=1，則a²-1=b²，即（a+1）（a-1）=b²，
∵a+1＞a-1，∴a-1＜b，即a-b＜1，①正確；
②：∵2b（a-2b）≤（

2b+a-2b

2

）²=

a2

4

，
∴a²+

16

2b(a-2b)

≥a²+

64

a2

≥16．
當且僅當2b=a-2b時取等號．②正確；
③：a_n=n（n+4）（

2

3

）ⁿ
則

an+1

an

=

( n+1)(n+5)( 2 3 )n+1

n(n+4)(  2 3 )n

=

2

3

×

( n+1)(n+5)

n(n+4)

≥1
則2（n+1）（n+5）≥3n（n+4），即n²≤10，所以n＜4，
即n＜4時，a_n+1＞a_n，
當n≥4時，a_n+1＜a_n，
所以a₄最大．③正確；
④：∵題中原方程f²（x）+2f（x）=0有幾個不同實數解，
∴即要求對應于f（x）=0和f（x）=-2有幾個不同實數解，
故先根據題意作出f（x）的簡圖，如圖，
由圖可知，當f（x）=0時，它有三個根，當f（x）=-2時，它有二個根．關于x的方程f²（x）+2f（x）=0有5個解．④不正確；
⑤：∵sinx+siny=

1

3

，∴siny=

1

3

-sinx，
∵-1≤

1

3

-sinx≤1，∴-

2

3

≤sinx≤1，
∴siny-cos²x=

1

3

-sinx-（1-sin²x） 
=（sinx-

1

2

）2-

11

12

，∴sinx=-

2

3

 時，siny-cos²x的最大值為（-

2

3

-

1

2

）2-

11

12

=

4

9

，⑤不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題主要考查了命題的真假判斷與應用，考查了基本不等式在最值問題中的應用、同角三角函數的基本關系，正弦函數的有界性，二次函數的性質等等．