Question

【題目】已知函數．

求的單調區間；

Ⅱ證明：其中e是自然對數的底數，．

Answer 1

【答案】（1）的單調遞減區間為或，無遞增區間；（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）定義域是，．令．則

對與0的大小，分類討論，即可得出的最值，再與0比較大小得出單調性．

（Ⅱ）即，，分和2種情況

研究新構造函數的單調性，即可得出．

Ⅰ根據題意，函數，其定義域為；

其導數，令，則，

分析可得：在上，，為增函數，

在上，，為減函數；則，

則有，即函數在其定義域上為減函數，

則的單調遞減區間為或，無遞增區間；

Ⅱ證明：即，；

分2種情況：

，時，，

令，則，

令，

則，，，，

故在上單調遞增，故，

故在上單調遞增，

于是，所以，

所以在上單調遞增，

因此，時，，即，

下面證明時的情況：

令，，故在上單調遞增，

于是時，，即，，

令，則，故在上單調遞增，

故時，，即，．

綜上所述：．