Question

定義在R上的函數f（x）滿足對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．當x＞0，f（x）＞0，
（1）求證：f（x）為奇函數；
（2）判斷f（x）的單調性并證明；
（3）解不等式：f[log2(x+

1

x

+6)]+f(-3)≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，則f（0）=0，再由奇函數的定義知，需要證明出f（-x）=-f（x），觀察恒等式發現若令y=-x，則問題迎刃而解；
（2）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區間內比較f（x₁）與f（x₂）的大小即可．
（3）根據奇函數把不等式變形，再根據單調性轉化一元二次不等式組，解之即可．

解答：解：（1）令x=y=0，則f（0）=0，令y=-x，
則f（x）+f（-x）=f（0）=0，⇒f（-x）=-f（x），
且函數y=f（x）的定義域關于原點對稱，
∴f（x）為奇函數
（2）f（x）為R上的單調增函數，設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）＞0，
f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁）
∴f（x）為R上的單調增函數
（3）由（1）知f（0）=0及f（x）在R上單調遞增
∴原不等式等價于f[log2(x+

1

x

+6)+(-3)]≤f(0)
?log2(x+

1

x

+6)≤3?0＜x+

1

x

+6≤8
?

x＞0 x2+6x+1＞0 x2-2x+1≤0

或

x＜0 x2+6x+1＜0 x2-2x+1≥0

解得解集為{x|x=1或-3-2

2

＜x＜-3+2

2

}

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查用賦值法求函數值證明函數的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，利用函數的奇偶性和單調性解抽象不等式．此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．