Question

已知圓的內接四邊形ABCD的邊長分別為AB＝2，BC＝6， CD＝DA＝4，
（1）求角A的大小；
（2）求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

（1）A＝120º（2）8

試題分析：（1）解三角形問題，一般利用正余弦定理進行邊角轉化. 由面積公式有四邊形ABCD的面積S＝S_△ABD＋S_△BCD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC，∵A＋C＝180º∴sinA＝sinC∴S＝16sinA．由余弦定理得：BD²＝AB²＋AD²－2AB·AD·cosA＝20－16cosA，BD²＝CB²＋CD²－2CB·CD·cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC解之：cosA＝－ , 又0º＜A＜180º, ∴A＝120º，（2）由(1)有四邊形ABCD的面積S＝16，所以S＝16sin120º＝8.
解：四邊形ABCD的面積S＝S_△ABD＋S_△BCD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC
∵A＋C＝180º∴sinA＝sinC∴S＝16sinA．
由余弦定理得：BD²＝AB²＋AD²－2AB·AD·cosA＝20－16cosA，
BD²＝CB²＋CD²－2CB·CD·cosC＝52－48cosC，
∴20－16cosA＝52－48cosC解之：cosA＝－ ,
又0º＜A＜180º, ∴A＝120º，S＝16sin120º＝8