Question

3．A，B兩位同學各有五張卡，現以投擲均勻硬幣的方式進行游戲，當出現正面朝上時A贏得B一張卡片，否則B贏得A一張卡片，如果某人已贏得所有卡片，則游戲終止；
（1）求擲硬幣的次數不大于7次時游戲終止的概率．
（2）設ξ表示“游戲已進行五次時同學A擁有的卡片數”，求Eξ．

Answer 1

分析 （1）設ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數，正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=5}\\{m+n=ξ}\\{1≤ξ≤7}\end{array}\right.$．對m分類討論即可得出．
（2）假設A贏了B，5次終止，那么A贏了4次，B贏了1次． B的這一次只能發(fā)生在前三次中（前三中還不發(fā)生，A就贏了），也就是有三種情況，每種情況概率均為$（\frac{1}{2}）^{5}$，且還有B贏A的情況，則最后概率為$（\frac{1}{2}）^{5}×3×2$=$\frac{3}{16}$．

解答 解：（1）設ξ表示游戲終止時擲硬幣的次數，
正面出現的次數為m，反面出現的次數為n，則$\left\{\begin{array}{l}{|m-n|=5}\\{m+n=ξ}\\{1≤ξ≤7}\end{array}\right.$．
可得：當m=5，n=0或m=0，n=5時，ξ=5；
當m=6，n=1或m=1，n=6時，ξ=7．
所以ξ的所有可能取值為：5，7．
P（ξ≤7）=P（ξ=5）+P（ξ=7）=2$（\frac{1}{2}）^{5}$+2${∁}_{5}^{1}×（\frac{1}{2}）^{7}$=$\frac{9}{64}$．
（2）ξ表示“游戲已進行五次時同學A擁有的卡片數”，則ξ=0，1，2，3，4，7，8，9，10．
假設A贏了B，5次終止，那么A贏了4次，B贏了1次． B的這一次只能發(fā)生在前三次中（前三中還不發(fā)生，A就贏了），也就是有三種情況，每種情況概率均為$（\frac{1}{2}）^{5}$，且還有B贏A的情況，則最后概率為$（\frac{1}{2}）^{5}×3×2$=$\frac{3}{16}$．

點評 本題考查了二項分布列的概率與首項期望計算公式、古典概率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．