Question

用數(shù)學歸納法證明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1n²=（-1）^n-1

n(n+1)

2

．

Answer 1

分析：用數(shù)學歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗證當n=n₀時命題成立，第二步假設當n=k時命題成立，那么再證明當n=k+1時命題也成立．關鍵是第二步中要充分用上歸納假設的結(jié)論．

解答：證明：（1）當n=1時，左邊=1，右邊=（-1）⁰

1(1+1)

2

=1，
故：左邊=右邊，
∴當n=1時，等式成立；（3分）
（2）假設n=k時，等式成立，即 1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

．（6分）
那么1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k-1•

k(k+1)

2

+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k

k+1

2

（-k+2k+2）
=（-1）^（k+1）-1

(k+1)[(k+1)+1]

2

即當n=k+1時，等式也成立． （10分）
根據(jù)（1）和（2）可知等式對任何n∈N₊都成立． （12分）

點評：本題考查數(shù)學歸納法的思想，應用中要注意的是用上歸納假設的結(jié)論，否則會導致錯誤．屬于中檔題．