Question

數列{a_n}滿足a1=

1

2

，Sn=n2an(n≥1)．
（1）求S₁，S₂，S₃并猜想S_n；
（2）用數學歸納法證明（1）中猜想的正確性．

Answer 1

分析：（1）根據a1=

1

2

，Sn=n2an(n≥1)，可求 S₁=

1

2

，S2=

2

3

，S3=

3

4

，猜想：Sn=

n

n+1

(n∈N*)．
（2）①檢驗當n=1時結論成立，②假設Sk=

k

k+1

，由Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk=

K+1

n+1+1

 可得結論當n=k+1時也成立，由①②知，結論對一切的n∈N^*成立．

解答：解：（1）當n≥2 時，Sn-Sn-1=an=

1

n2

Sn，故Sn=

n2

n2-1

Sn-1．
又S1=a1=

1

2

，故可得 S2=

2

3

，S3=

3

4

，猜想：Sn=

n

n+1

(n∈N*)．
（2）①當n=1時，結論顯然成立． ②假設當n=k（k∈N^*）時，結論成立，即Sk=

k

k+1

．
當n=k+1時，Sk+1=

(k+1)2

(k+1)2-1

Sk=

(k+1)2

(k+1)2-1

•

k

k+1

=

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
故結論當n=k+1時也成立． 由①②知，結論對一切的n∈N^*成立．

點評：本題考查歸納推理，用數學歸納法證明等式，證明 SK=

K+1

n+1+1

是解題的難點．