Question

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在處取得極大值，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）正實(shí)數(shù)的取值范圍為。

【解析】試題分析：（1）求出，分兩種情況討論，分別令求得 的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得 的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）討論的取值范圍，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)極值的定義，進(jìn)行驗(yàn)證即可得到結(jié)論.

試題解析：（1）由，

所以.

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增， 時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.

（2）∵，

∴且.

由（1）知①當(dāng)時(shí)， ，由（1）知在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， .

所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，不合題意.

②當(dāng)時(shí)， ， 在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，不合題意.

③當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.

所以在處取得極大值，符合題意.

綜上可知，正實(shí)數(shù)的取值范圍為.