Question

已知雙曲線上的一點P與兩焦點F₁，F₂所連成的三角形為直角三角形，且有一個內角為30°，F₁F₂為斜邊，則雙曲線的離心率

3

+1

．

Answer 1

分析：設|F₁F₂|=2c，依題意可求得|PF₁|，|PF₂|，從而可知2a，利用離心率的概念即可求得其答案．

解答：解：設|F₁F₂|=2c，
∵雙曲線上的一點P與兩焦點F₁，F₂所連成的三角形為直角三角形，且有一個內角為30°，F₁F₂為斜邊，
∴不妨令∠PF₁F₂=30°，
|PF₁|=2csin60°=

3

c，|PF₂|=2csin30°=c，
∴|PF₁|-|PF₂|=（

3

-1）c=2a，
∴雙曲線的離心率e=

2c

2a

=

2c

( 3 -1)c

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，依題意求得|PF₁|，|PF₂|是關鍵，屬于中檔題．