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已知函數f(x)=
1
4
x4-m3x+
3
4

(1)當m=1時,求f(x)的單調區間;
(2)當m>0時,函數f(x)的圖象與x軸有交點,求m的取值范圍.
分析:(1)利用導數求函數的單調區間,只需令導數大于0,解得x的范圍為函數的增區間,令導數小于0,解得x的范圍為函數的減區間.
(2)要想使函數f(x)的圖象與x軸有交點,只需函數的最小值小于0即可.利用導數求函數的最小值,先令導數等于0,得到極值點,再判斷極值點兩側導數的正負,判斷是極大值還是極小值,再比較極小值與端點函數值大小即可.本題中只有一個極小值,所以極小值也是最小值,再讓最小值小于0即可.
解答:解:(1)f'(x)=x3-1,由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得x<1.
故f(x)的單增區間為[1,+∞),單減區間為(-∞,1].
(2)f'(x)=x3-m3∵m>0.由f'(x)>0得x>m,由f'(x)<0得x<m.
∴f(x)在(-∞,m)上單減,在(m,+∞)上單增,故x=m時,f(x)min=f(m)=-
3
4
m4+
3
4

要f(x)圖象與x軸有交點,則-
3
4
m4+
3
4
≤0
,解得m≥1.
故m∈[1,+∞).
點評:本題主要考查了應用導數求函數的單調區間與最值的方法,屬于導數的應用.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(1)、已知函數f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數a的取值范圍是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數在區間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數k的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

定義在D上的函數f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數,其中M稱為函數f(x)的上界.已知函數f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數,請說明理由;
(2)若函數f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數,求m的取值范圍.

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