Question

已知函數f(x)=

1

4

x4-m3x+

3

4

．
（1）當m=1時，求f（x）的單調區間；
（2）當m＞0時，函數f（x）的圖象與x軸有交點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數求函數的單調區間，只需令導數大于0，解得x的范圍為函數的增區間，令導數小于0，解得x的范圍為函數的減區間．
（2）要想使函數f（x）的圖象與x軸有交點，只需函數的最小值小于0即可．利用導數求函數的最小值，先令導數等于0，得到極值點，再判斷極值點兩側導數的正負，判斷是極大值還是極小值，再比較極小值與端點函數值大小即可．本題中只有一個極小值，所以極小值也是最小值，再讓最小值小于0即可．

解答：解：（1）f'（x）=x³-1，由f'（x）＞0得x＞1，由f'（x）＜0得x＜1．
故f（x）的單增區間為[1，+∞），單減區間為（-∞，1]．
（2）f'（x）=x³-m³∵m＞0．由f'（x）＞0得x＞m，由f'（x）＜0得x＜m．
∴f（x）在（-∞，m）上單減，在（m，+∞）上單增，故x=m時，f（x）_min=f（m）=-

3

4

m4+

3

4

，
要f（x）圖象與x軸有交點，則-

3

4

m4+

3

4

≤0，解得m≥1．
故m∈[1，+∞）．

點評：本題主要考查了應用導數求函數的單調區間與最值的方法，屬于導數的應用．