Question

設(shè)拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC∥x軸．證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．

Answer 1

【答案】分析：先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到經(jīng)過點(diǎn)F的直線的方程后代入到拋物線中消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，進(jìn)而得到兩根之積，根據(jù)BC∥x軸與點(diǎn)c在準(zhǔn)線上可求得c的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出直線CO的斜率，同時(shí)可得到k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．
得證．
解答：證明：如圖因?yàn)閽佄锞�y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），
所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線的方程可設(shè)為；
代入拋物線方程得y²-2pmy-p²=0，
若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是該方程的兩個(gè)根，
所以y₁y₂=-p²．
因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)c在準(zhǔn)線x=-上，
所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為（-，y₂），
故直線CO的斜率為．
即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O．
點(diǎn)評(píng)：本小題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力．