Question

一個盒子裝有6張卡片，上面分別寫著如下6個定義域為R的函數：f1(x)=log2(x+

x2+1

)，f2(x)=x2，f3(x)=

1

2

-

1

2x+1

，f₄（x）=sinx，f₅（x）=cosx，f₆（x）=2．
（Ⅰ）現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到一個新函數，求所得的新函數是奇函數的概率；
（Ⅱ）現從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A表示“從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加，所得的新函數是奇函數”，由f1(x)=log2(x+

x2+1

)是奇函數，f2(x)=x2是偶函數，f3(x)=

1

2

-

1

2x+1

是奇函數，f₄（x）=sinx是奇函數，f₅（x）=cosx是偶函數，f₆（x）=2是偶函數，能求出所得的新函數是奇函數的概率．
（Ⅱ）由題設知ξ可取1，2，3，4，分別求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4）的值，由此能求出抽取次數ξ的分布列和數學期望．

解答：解：（Ⅰ）設A表示“從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加，所得的新函數是奇函數”，
∵f1(x)=log2(x+

x2+1

)是奇函數，
f2(x)=x2是偶函數，
f3(x)=

1

2

-

1

2x+1

是奇函數，
f₄（x）=sinx是奇函數，
f₅（x）=cosx是偶函數，
f₆（x）=2是偶函數．
∴P（A）=

C 2 3

C 2 6

=

1

5

．
（Ⅱ）由題設知ξ可取1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 1 3

C 1 6

=

1

2

，
P（ξ=2）=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 3

C 1 5

=

3

10

，
P（ξ=3）=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 3

C 1 4

=

3

20

，
P（ξ=4）=

C 1 3

C 1 6

•

C 1 2

C 1 5

•

C 1 1

C 1 4

•

C 1 3

C 1 3

=

1

20

，
∴ξ的分布列是：

ξ	1	2	3	4
P	1 2	3 10	3 20	1 20

Eξ=1×

1

2

+2×

3

10

+3×

3

20

+4× 

1

20

=

7

4

．

點評：本題考查離散型隨機變量的數學期望和方差，是歷年高考的必考題型，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．