Question

如圖，已知扇形OPQ半徑為1，圓心角為

π

3

，B是弧PQ上的動點，A、C分別在OP、OQ上，四邊形OABC是平行四邊形．記∠BOP=α，求當角α取何值時，平行四邊形OABC的面積最大？并求出最大面積．

Answer 1

分析：過點B作BM⊥OP于M，則BM=sinα，OM=cosα，OA=OM-AM=cosα-

3

3

sinα，從而平行四邊形ABOC的面積S=OA•BM，等于

1

3

sin(2α+

π

6

)-

3

6

．由0＜α＜

π

3

，可得當 2α+

π

6

=

π

2

時，S取得最大值．

解答：解：過點B作BM⊥OP于M，
則BM=sinα，OM=cosα，OA=OM-AM=cosα-

3

3

sinα，…（3分）
設平行四邊形OABC的面積為S，則S=OA•BM=(cosα-

3

3

sinα)sinα…（4分）
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

1

3

(

3

2

sin2α+

1

2

cos2α)-

3

6

=

1

3

sin(2α+

π

6

)-

3

6

．…（7分）
由0＜α＜

π

3

，得

π

6

＜2α+

π

6

＜

5π

6

．
所以當2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

時，S最大=

3

6

．…（9分）

點評：本題主要考查兩角和差的正弦、余弦公式的應用，二倍角公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．