Question

已知向量

a

=（cosθ，sinθ），

b

=（cos2θ，sin2θ），

c

=（-1，0），

d

=（0，1）．
（1）求證：

a

⊥(

b

+

c

)；     （2）設f（θ）=

a

•(

b

-

d

)，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用向量的分配律及向量的數量積公式求出 (

b

+

c

)•

a

；利用向量的數量積為0向量垂直得證．
（2）利用向量的數量積公式將已知等式得到

2

cos(θ+

π

4

)，利用三角函數的性質求出f（θ）的值域．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=cosθcos2θ+sinθsin2θ=cosθ…（2分）
又∵

a

•

c

=-cosθ…（4分）
∴

a

•(

b

+

c

)=cosθ-cosθ=0，
∴

a

⊥(

b

+

c

)…（6分）
（2）f（θ）=

a

•

b

-

a

•

d

=cosθ-sinθ=

2

cos(θ+

π

4

）…（10分）
所以f（θ）的值域為[-

2

，

2

]…（14分）

點評：本題考查向量垂直的充要條件、向量模的平方等于向量的平方、向量的數量積公式．