Question

某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米造價45元，屋頂每平方米造價20元，試計算：
（1）倉庫面積S的最大允許值是多少？
（2）為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么正面鐵柵應設計為多長？

Answer 1

分析：（1）長為x米，寬為y米，則40x+90y+20xy=3200；由40x+90y≥2

40x×90y

 =120

xy

，得

xy

的取值范圍，
即S=xy的取值范圍；
（2）由40x=90y，且xy=100，解得x，y的值即可．

解答：解：（1）設靠墻的長度為x米，側面長為y米，
由題意，知：40x+2y×45+20xy=3200
因為：40x+90y≥2

40x×90y

 =120

xy

（當且僅當40x=90y時取“=”），
所以：3200≥120

xy

+20xy，所以，0＜

xy

 ≤10；
所以，S=xy≤100．
（2）由（1）知，當40x=90y時，S取最大值，又xy=100，
∴x=15  y=

20

3

；所以，此時正面鐵柵應設計為15米．

點評：本題考查了長方體模型的應用，在求面積S=xy最值時，利用基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）．