Question

已知直線l：kx-y+1+2k=0．
（1）證明l經過定點；
（2）若直線l交x軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程；
（3）若直線不經過第四象限，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），顯然過定點（-2，1）．
（2）先求出A和B 的坐標，代入三角形的面積公式進行化簡，再利用基本不等式求出三角形面積的最小值，以及面積最小時直線的斜率，從而得到直線l的方程．
（3）由直線過定點（-2，1），可得，當斜率 k≥0時，直線不經過第四象限．

解答：解：（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k（x+2），
所以，直線l經過定點（-2，1）．
（2）由題意得A（

2k+1

-k

，0），B（0，2k+1），且

2k+1 -k ＜0 1+2k＞0

，故 k＞0，
△AOB的面積為S=

1

2

×

2k+1

k

×（2k+1）=

4k2+4k+1

2k

=2k+2+

1

2k

≥4，
當且僅當 k=

1

2

時等號成立，此時面積取最小值4，k=

1

2

，直線的方程是：x-2y+4=0．
（3）由直線過定點（-2，1），且直線不經過第四象限，
可得斜率 k＞0 或k=0，
故k的取值范圍為[0，+∞）．

點評：本題考查直線過定點問題，基本不等式的應用，求直線方程的方法，屬于中檔題．