Question

【題目】設(shè)有三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，分別位于一個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)M，N及的中點(diǎn)S處，，現(xiàn)要在該矩形的區(qū)域內(nèi)（含邊界），且與M，N等距離的一點(diǎn)O處設(shè)一個(gè)宣講站，記O點(diǎn)到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和為．

（1）設(shè)，試將L表示為x的函數(shù)并寫出其定義域；

（2）試?yán)�用�?/span>1）的函數(shù)關(guān)系式確定宣講站O的位置，使宣講站O到三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的距離之和最小．

Answer 1

【答案】（1）；（2）宣講站位置O滿足：，時(shí)，可使得三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)到宣講站的距離之和最小．

【解析】

（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義表示出，從而得出關(guān)于的函數(shù)；

（2）利用換元法，令，可得，然后再根據(jù)不等式的性質(zhì)和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而求出取得最小值時(shí)的大小．

（1）過(guò)O作，垂足為T，圖略，則T為的中點(diǎn)，

∴，

∴，，，

∴．

（2）由（1）知，，

∴，

令，

則，∴，

由得，或（舍），

當(dāng)時(shí)，，L取最小值，

即宣講站位置O滿足：，，時(shí)，

可使得三個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)到宣講站的距離之和最小．