Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，∠CDA=45°．
（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（II）設AB=AP．
（i）若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；
（ii）在線段AD上是否存在一個點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據線面垂直的定義可得PA⊥AB，再結合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根據平面與平面垂直的判定定理可得平面PAB與平面PAD垂直；
（II）（i）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，根據已知數據設出B、P、E、C、D的坐標，用法向量的方法結合數量積計算公式，可得線段AB的長；
（ii）先假設存在點G滿足條件，再通過計算GB之長，與GD長加以比較，得出GB＞GD，與已知條件GB=GD=1矛盾，故不存在滿足條件的點G．
解答：解：（I）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD
（II）（i）以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A-xyz（如圖）
在平面ABCD內，作CE∥AB交于點E，
則CE⊥AD                                                   
在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，
             CE=CD•sin45°=1
設AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以E（0，3-t，0），C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）
，
設平面PCD的法向量為=（x，y，z）
由，，得
取x=t，得平面PCD的一個法向量為
又，故由直線PB與平面PCD所成的角為30°得
cos（90°-30°）==
即
解得或t=4（舍去，因為AD=4-t＞0）
所以AB=
（ii）假設在線段AD上存在一個點G到P、B、C、D的距離都相等
由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°                                  
從而∠CGD=90°，即CG⊥AD
所以GD=CD•cos45°=1
設AB=λ，則AD=4-λ，AG=AD-GD=3-λ
在Rt△ABG中，
GB=
這GB=GD與矛盾．
所以在線段AD上不存在一個點G，使得點G到B、C、D的距離都相等．
從而，在線段AD上不存在一個點G，使得點G到點P、B、C、D的距離都相等．
點評：本小題主要考查空間中的線面關系，考查面面垂直的判定及線面角的計算，考查空間想象能力、推理論證能力和運算能力，考查轉化思想，屬于中檔題．