Question

正三棱錐P-ABC中，AB=AC=10，BC=12，各側面與底面所成的二面角都是45°，則棱柱的高為

3

．

Answer 1

分析：取BC中點M，連接AM，由AB=AC=10，知AM垂直于BC，AM=8，所以S△ABC=

1

2

× BC×AM=48，設VP垂直于面ABC于P，由各側面與底面成的二面角都是45°，知P為△ABC內心，設半徑為R，由△ABC的面積求出R=3，由此能求出棱柱的高．

解答：解：取BC中點M，連接AM，
∵AB=AC=10，
∴AM垂直于BC，AM=8，
S△ABC=

1

2

× BC×AM=48，
設VP垂直于面ABC于P，
∵各側面與底面成的二面角都是45°，
即P為△ABC內心，設半徑為R，
則S△ABC=

1

2

×(BC+AB+AC)R=16R=48，
R=3，
∴VP=R•tan45°=3．
故答案為：3．

點評：本題考查與二面角有關的立體幾何綜合題，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角形面積公式的合理運用．