Question

在正三棱錐P-ABC中，E、F分別是PA、AB的中點，若∠CEF=90°，且AB=

2

，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為

 

．

Answer 1

分析：根據題意推出EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∠APB=∠BPC=∠APC=90°，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球，正方體的對角線就是球的直徑，求出直徑即可求出球的表面積．

解答：解：∵三棱錐P-ABC正棱錐，∴PB⊥AC（對棱互相垂直）∴EF⊥AC
又∵EF⊥CE而CE∩AC=C，∴EF⊥平面PAC即PB⊥平面PAC
∴∠APB=∠BPC=∠APC=90°，，將此三棱錐補成正方體，則它們有相同的外接球
∴2R=

3

，∴S=4πR²=π•（

3

）²=3π，
故答案為3π．

點評：本題是基礎題，考查三棱錐的外接球的表面積，考查空間想象能力，三棱錐擴展為正方體，它的對角線長就是外接球的直徑，是解決本題的關鍵．