Question

定義在R上的函數f（x）滿足：（x-1）f′（x）≤0（f′（x）為f（x）的導函數）且y=f（x+1）為偶函數，若向量

a

=（log

1

2

m，-1），

b

=（1，-2），則滿足不等式f（

a

•

b

）＜f（-1）的實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：由（x-1）f′（x）≤0先分析函數的單調性，然后結合y=f（x+1）為偶函數研究函數f（x）的對稱性．最后利用函數的單調性將結果化簡后解不等式即可．

解答： 解：（x-1）f′（x）≤0得當x＞1時f′（x）≤0；當x＜1時，f′（x）＞0．所以函數f（x）在（-∞，1）遞增，在（1，+∞）上遞減．
又且y=f（x+1）為偶函數，所以f（x）的圖象關于x=1對稱．且當自變量取值離x=1越近時，函數值越大．
由

a

=(log

1

2

m，-1)，

b

=(1，-2)．所以

a

•

b

=log

1

2

m+2．又因為f（

a

•

b

）＜f（-1），
所以|log

1

2

m+2-1|＞|-1-1|，
即log

1

2

m＜-3或log

1

2

m＞1．
解得0＜m＜

1

2

或m＞8．
故答案為：(0，

1

2

)∪(8，+∞)．

點評：本題綜合考查了函數的單調性、對稱性以及數量積的計算等基礎知識，要注意分析函數f（x）的性質，將給的條件化歸為f（x）的性質，然后計算求解．