Question

正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，
(1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求平面BDC與平面DEF的夾角的余弦值；
(3)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P，使AP⊥DE？證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：(1)如圖，在△ABC中，E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)， ∴EF∥AB， 又AB平面DEF，EF平面DEF， ∴AB∥平面DEF。
(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DB、DC為x軸、y軸， 建立空間直角坐標(biāo)系， 則A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，2，0）， ， 平面CDF的法向量為， 設(shè)平面EDF的法向量為， 則， 取， ， 所以平面BDC與平面DEF夾角的余弦值為。
(3)在平面坐標(biāo)系xDy中， 直線BC的方程為， 設(shè)， ∴ ， 所以在線段BC上存在點(diǎn)P，使AP⊥DE。