Question

（本小題滿分14分）
執行下面框圖所描述的算法程序，記輸出的一列數依次為，，…，，，．（注：框圖中的賦值符號“”也可以寫成“”或“：”）
（1）若輸入，寫出輸出結果；
（2）若輸入，求數列的通項公式；
（3）若輸入，令，求常數（），使得是等比數列．

Answer 1

解（1）輸出結果是：0，，．……3分
（2）（法一）由程序框圖可知，，，，．
所以，當時，，   …………………5分
，而中的任意一項均不為1，（否則的話，由可以得到，…，與矛盾），
所以，，
（常數），，．故是首項為，公差為的等差數列，    ……………………………7分
所以，，數列的通項公式為，，．…8分
（法二）當時，由程序框圖可知，，，，，……
猜想，，．      …………………………………………5分
以下用數學歸納法證明：
①當時，，猜想正確；
②假設（，）時，猜想正確．即，………………7分
那么，當時，
由程序框圖可知，．即時，猜想也正確．
由①②，根據數學歸納法原理，猜想正確，，．……8分
（3）（法一）當時，
，
令，則，，． …………10分
此時，，            ………………………………12分
所以，，，又，
故存在常數（），
使得是以為首項，為公比的等比數列．         ……………………………14分
（法二）當時，令，即，解得，…10分
因為，，．
所以，    ①
，② 12分
①÷②，得，
即，，，又，
故存在常數（）
使得是以為首項，為公比的等比數列．         ……………………………14分

略