Question

經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某超市的一種商品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)），銷售價(jià)格（元）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=100(1+

1

t

)，銷售量（件）與時(shí)間t（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足g（t）=125-|t-25|．
（1）試寫出該商品的日銷售金額w（t）關(guān)于時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求該商品的日銷售金額w（t）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=100(1+

1

t

)，、g（t）=125-|t-25|，即可得到商品的日銷售金額w（t）關(guān)于時(shí)間t（1≤t≤30，t∈N）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=100(1+

1

t

)，判斷函數(shù)的單調(diào)性判斷出函數(shù)的最值，即該商品的日銷售金額w（t）的最值．

解答：解：（1）由題意，得
w(t)=f(t)•g(t)=100(1+

1

t

)(125-|t-25|)
=

100(t+ 100 t +101) 100(149+ 150 t -t)

(1≤t＜25，t∈N) (25≤t≤30，t∈N)

（2）①當(dāng)1≤t＜25時(shí)，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">t+

100

t

≥20，
所以當(dāng)t=10時(shí)，w（t）有最小值12100；
當(dāng)t=1時(shí)，w（t）有最大值20200；
②當(dāng)25≤t≤30時(shí)，∵

150

t

-t在[25，30]上遞減，
∴當(dāng)t=30時(shí)，w（t）有最小值12400
∵12100＜12400，
∴當(dāng)t=10時(shí)，
該商品的日銷售金額w（t）取得最小值為12100．
最大值為20200．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解模→還原四個(gè)過程，在建模時(shí)要注意實(shí)際情況對(duì)自變量x取值范圍的限制，解模時(shí)也要實(shí)際問題實(shí)際考慮．將實(shí)際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．