Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.

（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；

（2）點是線段上的動點，當直線與所成的角最小時，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，利用平面的法向量可解得結果；

（2）向量與夾角的余弦值的絕對值的最大值等價于直線與所成的角最小，利用向量法可解得結果.

（1）因為平面，所以，，又，

所以以為原點，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：

所以，，，，，

因為，，，所以平面，

所以是平面的一個法向量，．

因為．

設平面的法向量為，則，

即，令，解得．

所以是平面的一個法向量，從而，

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．

（2） 因為，設，

又，則，

又，

從而，

設，

則，

當且僅當，即時，的最大值為．

因為在上是減函數，所以此時直線與所成角取得最小值．

所以.