Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n，數列{b_n}滿足b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）通過數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n，求出首項，a_n=S_n-S_n-1，求數列{a_n}的通項公式，通過錯位相減法求解{b_n}的通項公式；
（2）通過數列{b_n}的通項公式，判斷數列是等比數列，直接求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解（1）n=1，a₁=2，
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=2n
∴a_n=2n （n∈N^*）                    …（4分）
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-1b_n=a_n，n∈N^*．
b₁+3b₂+3²b₃+…+3^n-2b_n-1=a_n-1，n≥2．
兩式作差：3^n-1b_n=a_n-a_n-1=2
∴bn=

2

3n-1

  n≥2，
又∵b₁=2
∴bn=

2

3n-1

  n∈N^*．         …（10分）
（2）數列{b_n}是首項為2，公比為

1

3

的等比數列，
所以T_n=

2(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

=3-

1

3n-1

   …（13分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合應用，數列通項公式的求法，求和的方法，考查分析問題解決問題能力．