Question

13．如圖，橢圓C：x ²+3y ²=a²（a＞0）．
（Ⅰ） 求橢圓C的離心率；
（Ⅱ） 若a=$\sqrt{6}$，M，N是橢圓C上兩點，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求△MON面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）化成標準方程，代入離心率公式計算即可；
（II）對直線MN的斜率討論，設方程為y=kx+b，聯立方程組，根據弦長公式k，b的關系，利用△＞0得出k的范圍，求出O到直線MN的距離d的范圍即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ） 由橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{\frac{{a}^{2}}{3}}=1$，
∴c²=a²-$\frac{{a}^{2}}{3}$=$\frac{2{a}^{2}}{3}$，即c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅱ）a=$\sqrt{6}$時，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
顯然直線MN的斜率存在．
（1）當k=0時，把x=$\sqrt{3}$代入橢圓方程得y=1，
∴O到直線MN的距離為1，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$，
（2）當直線MN斜率不為零時，設直線MN的方程為y=kx+b，
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6kbx+3b²-6=0，
∴△=36k²b²-4（1+3k²）（3b²-6）＞0，解得b²＜6k²+2，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{6kb}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{b}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{\frac{36{k}^{2}{b}^{2}}{（1+3{k}^{2}）^{2}}-\frac{12（{b}^{2}-2）}{1+3{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{1+{k}^{2}}•2\sqrt{18{k}^{2}-3{b}^{2}+6}}{1+3{k}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{6{k}^{2}-{b}^{2}+2}$=1+3k²，
整理得b²=$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$，
∴$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{1+{k}^{2}}$＜6k²+2，解得k²≥0．
∵O到直線MN的距離d=$\frac{|b|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴d²=$\frac{{b}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{-3{k}^{4}+2{k}^{2}+1}{（1+{k}^{2}）^{2}}$=1-$\frac{4}{（1+\frac{1}{{k}^{2}}）^{2}}$．
∴d²＜1，即d＜1，
∴S_△MON=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×d$$＜\sqrt{3}$．
綜上，△MON面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．