Question

8．已知向量$\vec a=（\sqrt{3}sinωx，-cosωx），\vec b=（cosωx，cosωx）$，函數f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期是π．
（1）求ω的值及函數f（x）的單調減區間；
（2）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求函數f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據向量的乘積的運算，求出f（x）的解析式，利用三角函數公式化簡，最小正周期是π，可得ω的值，在結合三角函數的性質求解函數f（x）的單調減區間；
（2）當$0≤x≤\frac{π}{2}$時，求出內層函數的范圍，結合三角函數的性質求最值，可得函數f（x）的值域．

解答 解：（1）向量$\vec a=（\sqrt{3}sinωx，-cosωx），\vec b=（cosωx，cosωx）$，
函數f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b+\frac{1}{2}$（ω＞0）
即$f（x）=\sqrt{3}sinωxcosωx-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}（1+cos2ωx）+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$
∵f（x）的最小正周期為π=$\frac{2π}{2ω}$，
∴ω=1．
∴f（x）的解析式為$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$．
又∵$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z．
得：$kπ+\frac{1}{3}π≤x≤kπ+\frac{5}{6}π，k∈Z$，
∴函數f（x）的單調減區間$[kπ+\frac{1}{3}π，kπ+\frac{5}{6}π]，k∈Z$．
（2）∵當$0≤x≤\frac{π}{2}$時，
可得：$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
即f（x）的值域為$[-\frac{1}{2}，1]$．

點評 本題主要考查了向量的乘積運算，三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．