【題目】已知函數
.
（1）若
，求
的零點個數；
（2）若
，
，證明：
，
.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（1）將a的值代入f(x)，再求導得
，在定義域內討論函數單調性，再由函數的最小值正負來判斷它的零點個數；（2）把a的值代入f(x)，將
整理化簡為
，即證明該不等式在
上恒成立，構造新的函數
，利用導數可知其在定義域上的最小值，構造函數
，由導數可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。
（1）解：因為
，所以
.
令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上單調遞增，在
上單調遞減，
而
，
，
，
所以的零點個數為1.
（2）證明：因為
，從而
.
又因為
，
所以要證
，恒成立，
即證，
恒成立，
即證，恒成立.
設，則
，
當
時，
，
單調遞增；
當
時，
，單調遞減.
所以
.
設，則
，
當
時，
，
單調遞增；
當時，
，單調遞減.
所以
，所以
，
所以，恒成立，
即，.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
，
分別是橢圓
的左，右焦點，
兩點分別是橢圓
的上，下頂點，
是等腰直角三角形，延長
交橢圓于
點，且
的周長為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）設點
是橢圓上異于的動點，直線
與直
分別相交于
兩點，點
，求證：
的外接圓恒過原點
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
圖象上不同兩點
，
，
，
處的切線的斜率分別是
，
，規定
叫曲線在點
與點
之間的“彎曲度”，給出以下命題：
（1）函數
圖象上兩點、的橫坐標分別為1，2，則
；
（2）存在這樣的函數，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數；
（3）設點、是拋物線，
上不同的兩點，則
；
（4）設曲線
上不同兩點，，，，且
，若
恒成立，則實數
的取值范圍是
；
以上正確命題的序號為__（寫出所有正確的）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知二次函數
，不等式
的解集有且只有一個元素，設數列
的前
項和
.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列
滿足
，求數列的前項和
.
（3）設各項均不為0的數列
中，滿足
的正整數
的個數稱為這個數列的變號數，令
，求數列的變號數.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
，點
是圓
上一動點，動點
滿足
，點
在直線
上，且
.
（1）求點的軌跡
的標準方程；
（2）已知點
在直線
上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為
，記點到直線
的距離分別為
，求
的最大值，并求出此時點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現隨機抽取部分學生的答卷，統計結果及對應的頻率分布直方圖如下：
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 |
|
|
|
|
頻數 | 6 |
| 24 |
|
（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數和中位數；
（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；
（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為
，求的數學期望
．
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