Question

【題目】已知二次函數，不等式的解集有且只有一個元素，設數列的前項和.

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足，求數列的前項和.

（3）設各項均不為0的數列中，滿足的正整數的個數稱為這個數列的變號數，令，求數列的變號數.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）先根據不等式的解集有且只有一個元素再結合求出，進而代入求出；再根據前項和與通項之間的關系即可求出數列的通項公式； （2）先求出數列的通項，再結合裂項相消法求出數列的前項和；

（3）先根據條件求出數列的通項，再通過作差求出數列的單調性，最后結合變號數的定義即可得到結論．

解：（1）不等式地的解集有且只有一個元素，

，又，故，

，

當時，，

當時，，

不滿足，

.

（2），

當時，，

.

又也滿足該式，故.

（3），，，，，

當時，

，

故當時，，

，，，當時，恒成立，

故數列的變號數為3.