【題目】分形幾何學是數(shù)學家伯努瓦·曼得爾布羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學學科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學眾多領域的難題提供了全新的思路．按照如圖甲所示的分形規(guī)律可得如圖乙所示的一個樹形圖：記圖乙中第
行黑圈的個數(shù)為
，則（1）
_______；（2）
______．
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】謝爾賓斯基三角形（英語：Sierpinskitriangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基在1915年提出.具體操作是：先取一個實心正三角形（圖1），挖去一個“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形）（圖2），然后在剩下的三個小三角形中又各挖去一個“中心三角形”（圖3），我們用黑色三角形代表剩下的面積，用上面的方法可以無限連續(xù)地作下去.若設操作次數(shù)為3（每挖去一次中心三角形算一次操作），在圖中隨機選取一個點，則此點取自黑色三角形的概率為__________.
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【題目】已知二次函數(shù)
，不等式
的解集有且只有一個元素，設數(shù)列
的前
項和
.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列
滿足
，求數(shù)列的前項和
.
（3）設各項均不為0的數(shù)列
中，滿足
的正整數(shù)
的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)，令
，求數(shù)列的變號數(shù).
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【題目】已知
，點
是圓
上一動點，動點
滿足
，點
在直線
上，且
.
（1）求點的軌跡
的標準方程；
（2）已知點
在直線
上，過點作曲線的兩條切線，切點分別為
，記點到直線
的距離分別為
，求
的最大值，并求出此時點的坐標.
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【題目】拋物線
的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
（1）若
，求直線AB的斜率；
（2）設點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．
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【題目】某校為了解校園安全教育系列活動的成效，對全校學生進行了一次安全意識測試，根據(jù)測試成績評定“合格”“不合格”兩個等級，同時對相應等級進行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分．現(xiàn)隨機抽取部分學生的答卷，統(tǒng)計結(jié)果及對應的頻率分布直方圖如下：
等級 | 不合格 | 合格 | ||
得分 |
|
|
|
|
頻數(shù) | 6 |
| 24 |
|
（1）由該題中頻率分布直方圖求測試成績的平均數(shù)和中位數(shù)；
（2）其他條件不變，在評定等級為“合格”的學生中依次抽取2人進行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測試得分仍低于80分的概率；
（3）用分層抽樣的方法，從評定等級為“合格”和“不合格”的學生中抽取10人進行座談．現(xiàn)再從這10人中任選4人，記所選4人的量化總分為
，求的數(shù)學期望
．
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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在平面直角坐標系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以原點為極點， 
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的方程為
，定點
，點
是曲線
上的動點， 
為
的中點.
（1）求點
的軌跡
的直角坐標方程；
（2）已知直線
與
軸的交點為
，與曲線
的交點為
，若
的中點為
，求
的長.
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【題目】已知長度為
的線段
的兩個端點
分別在
軸和
軸上運動，動點
滿足
，設動點的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）過點
，且斜率不為零的直線
與曲線交于兩點
，在軸上是否存在定點
，使得直線
與
的斜率之積為常數(shù)？若存在，求出定點的坐標以及此常數(shù)；若不存在，請說明理由.
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