Question

如圖，已知三棱錐中，，，為中點，為 中點，且為正三角形。

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）求證：平面⊥平面；
（III）若，，求三棱錐的體積.

Answer 1

（Ⅰ）、（Ⅱ）詳見解析（III）.

試題分析：（Ⅰ）利用中位線性質得到線線平行，根據線面平行的判定判定直線與平面平行；（Ⅱ）利用正三角形中點得到線線垂直，根據平行推得線線垂直，利用直線與平面垂直判定面面垂直；（Ⅲ）利用三棱錐的體積公式計算體積.
試題解析：（Ⅰ）∵M為AB中點，D為PB中點，
∴MD//AP，  又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC．                              3分
（Ⅱ）∵△PMB為正三角形，且D為PB中點．∴MD⊥PB．
又由（1）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB．
又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，  又∵AC⊥BC．                       7分
∴BC⊥平面APC，  ∴平面ABC⊥平面PAC，
（Ⅲ）∵ AB=20
∴ MB=10   ∴PB=10
又 BC=4，.
∴.
又MD.
∴V_D-BCM = V_M-BCD =.      12分