Question

7．記[x]為不超過實數x的最大整數，例如：[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1，設a為正整數，數列{x_n}滿足：x₁=a，${x_{n+1}}=[\frac{{{x_n}+[\frac{a}{x_n}]}}{2}]（n∈{N^*}）$，現有下列命題：
①當a=5時，數列{x_n}的前3項依次為5，3，2；
②對數列{x_n}都存在正整數k，當n≥k時，總有x_n=x_k；
③當n≥1時，${x_n}＞\sqrt{a}-1$；
④對某個正整數k，若x_k+1≥x_k，則${x_n}=[\sqrt{a}]$；
其中的真命題個數為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 按照給出的定義對四個命題結合數列的知識逐一進行判斷真假．對于①：列舉即可；對于②：需舉反例；對于③，可用數學歸納法加以證明；對于④：可由歸納推理判斷其正誤．

解答 解：對于①：當a=5時，x₁=5，x₂=$[\frac{5+[\frac{5}{5}]}{2}]$=3，x₃=$[\frac{3+[\frac{5}{3}]}{2}]$=2，故①正確；
對于②：當a=1時，x₂=$[\frac{1+[\frac{1}{1}]}{2}]$=1，x₃=1，x_k恒等于[$\sqrt{1}$]=1；
當a=2時，x₁=2，x₂=$[\frac{3+1}{2}]$=1，x₃=$[\frac{1+[\frac{2}{1}]}{2}]$=1，
∴當k≥2時，恒有xk=[$\sqrt{2}$]=1；
當a=3時，x₁=3，x₂=2，x₃=1，x₄=2，x₅=1，x₆=2，x₇=1，…，
此時數列{x_n}除第一項外，從第二項起以后的項以2為周期重復出現，
因此不存在正整數k，使得n≥k時，總有x_n=x_k，故②不正確；
對于③：在x_n+[$\frac{a}{{x}_{n}}$]中，當$\frac{a}{{x}_{n}}$為正整數時，x_n+[$\frac{a}{{x}_{n}}$]=x_n+$\frac{a}{{x}_{n}}$≥2$\sqrt{a}$，
∴x_n+1=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]}{2}]$≥[$\frac{2\sqrt{a}}{2}$]=[$\sqrt{a}$]；
當$\frac{a}{{x}_{n}}$不是正整數時，令[$\frac{a}{{x}_{n}}$]=$\frac{a}{{x}_{n}}$-t，t為$\frac{a}{{x}_{n}}$的小數部分，
0＜t＜1，x_n+1=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]}{2}]$=$[\frac{{x}_{n}+[\frac{a}{{x}_{n}}]-t}{2}]$＞[$\frac{2\sqrt{a}-t}{2}$]=[$\sqrt{a}$-$\frac{t}{2}$]=[$\sqrt{a}$]，
∴x_n+1≥[$\sqrt{a}$]，∴x_n≥[$\sqrt{a}$]，∴x_n＞$\sqrt{a}$-1，故③正確；
由以上論證知，存在某個正整數k，若x_k+1≥x_k，
則當n≥k時，總有x_n=[$\sqrt{a}$]，故④正確．
故選：B

點評 本題主要考查了數列遞推公式的應用，歸納推理和演繹推理的方法，直接證明和間接證明方法，數學歸納法的應用，難度較大，需有較強的推理和思維能力．