Question

已知球O的半徑是R，A、B、C是球面上三點，且A與B、A與C、B與C的球面距離分別為，則四面體OABC的體積為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據題意可知：球心O與A，B，C三點構成三棱錐O-ABC，且OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此題可以A為頂點根據體積公式求得三棱錐O-ABC的體積．
解答：解：球心O與A，B，C三點構成三棱錐O-ABC，如圖所示，
已知A與B、A與C、B與C的球面距離分別為，
OA=OB=OC=R，
∴∠AOB==90°，
∴同樣可得∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵=R²．
∴由V_O-ABC=V_A-BOC=×R²×R=．
故選A．
點評：本題考查求三棱錐的體積，解題過程中用到了換頂點的技巧，換頂點的目的是為了更方便用體積公式求值，立體幾何中求體積時注意使用這一技巧．