Question

已知球O的半徑是R，A、B、C是球面上三點(diǎn)，且A與B、A與C、B與C的球面距離分別為，則四面體OABC的體積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：根據(jù)題意可知：球心O與A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三棱錐O-ABC，且OA=OB=OC=R，∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，故AO⊥面BOC．所以此題可以A為頂點(diǎn)根據(jù)體積公式求得三棱錐O-ABC的體積．
解答：解：球心O與A，B，C三點(diǎn)構(gòu)成三棱錐O-ABC，如圖所示，
已知A與B、A與C、B與C的球面距離分別為，
OA=OB=OC=R，
∴∠AOB==90°，
∴同樣可得∠AOB=∠AOC=90°，∠BOC=60°，
由此可得AO⊥面BOC．
∵=R²．
∴由V_O-ABC=V_A-BOC=×R²×R=．
故選A．
點(diǎn)評：本題考查求三棱錐的體積，解題過程中用到了換頂點(diǎn)的技巧，換頂點(diǎn)的目的是為了更方便用體積公式求值，立體幾何中求體積時注意使用這一技巧．