Question

6．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線A₁C與棱CB、CD、CC₁所成角分別為α、β、γ，則sin²α+sin²β+sin²γ=2．

Answer 1

分析 由已知得sin²α+sin²β+sin²γ=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{D}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線A₁C與棱CB、CD、CC₁所成角分別為α、β、γ，
∴sin²α+sin²β+sin²γ=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{D}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=$\frac{A{{A}_{1}}^{2}+A{B}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{A{{A}_{1}}^{2}+A{D}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$+$\frac{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=$\frac{2（A{{A}_{1}}^{2}+A{B}^{2}+A{D}^{2}）}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=$\frac{2{{A}_{1}C}^{2}}{{A}_{1}{C}^{2}}$
=2．
故答案為：2．

點評 本題考查線面角的平方的和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．