Question

如圖所示，為了測量河對岸地面上A，B兩點間的距離，某人在河岸邊上選取了C，D兩點，使得CD⊥AB，且CD=500（米）現測得∠BCD=α，∠BDC=β，∠ACD=60°，其中cosα=，tanβ=2．求：
（1）sin∠CBD的值；
（2）A，B兩點間的距離（精確到1米）．（參考數據）

Answer 1

【答案】分析：（1）由α+β+∠CBD=π，得sin∠CBD=sin（α+β），知cosα可求sinα，知tanβ，用同角三角函數的基本關系，可求sinβ，cosβ．
（2）在△BCD中，用正弦定理求出BC，在△ABC中求出sin∠ACB，再利用正弦定理求AB．
解答：解：（1）∵為銳角，∴
∵tanβ=2，β銳角，∴（3分）
sin∠CBD=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（5分）
（2）在△BCD中，由得（7分）
∴（9分）
由AB⊥CD，∠ACD=60°，得∠A=30°（11分）
△ABC中，由，
得≈119（米），
答：A、B兩點間距離約為119米．
點評：本題考查解三角形的實際應用，用到兩角和的正弦公式，正弦定理等知識，正弦定理在解三角形時，用于下面兩種情況：一是知兩邊一對角，二是知兩角和一邊．