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已知a＞0，b＞0，a+b=1，求證：
（Ⅰ）
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8；
（Ⅱ）（1+
1
a
）（1+
1
b
）≥9．
考點：不等式的證明
專題：證明題,綜合法,不等式的解法及應用
分析：（Ⅰ）利用“1”的代換，結合基本不等式，即可證明結論；
（Ⅱ）（1+
1
a
）（1+
1
b
）=1+
1
a
+
1
b
+
1
ab
，由（Ⅰ）代入，即可得出結論．
解答： 證明：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0，
∴
1
a
+
1
b
+
1
ab
=
1
a
+
1
b
+
a+b
ab
=2（
1
a
+
1
b
）=2（
a+b
a
+
a+b
b
）
=2（
b
a
+
a
b
）+4≥4+4=8，（當且僅當a=b時，取等號），
∴
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8；
（Ⅱ）∵（1+
1
a
）（1+
1
b
）=1+
1
a
+
1
b
+
1
ab
，
由（Ⅰ）知，
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥8，
∴1+
1
a
+
1
b
+
1
ab
≥9，
∴（1+
1
a
）（1+
1
b
）≥9．
點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知：f（x+1）=x2+2x+3，則f（x）的最小值為（　　）
A、2B、0C、-5D、-3

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科目：高中數學 來源： 題型：

用數學歸納法證明“1+a+a2+…+a2n+1=
1-a2n+2
1-a
，（a≠1）”，在驗證n=1時，左端計算所得項為（　　）
A、1+a+a2+a3+a4
B、1+a
C、1+a+a2
D、1+a+a2+a3

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科目：高中數學 來源： 題型：

若sin（
π
4
+α）=
2
5
，則sin2α等于（　　）
A、-
8
25
B、
8
25
C、-
17
25
D、
17
25

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知同心圓：x2+y2=25與x2+y2=9，若從外圓上一點做內圓的兩條切線，則兩條切線的夾角為（　　）
A、arctan
4
3
B、2arctan
4
3
C、π-arctan
4
3
D、π-2arctan
4
3

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科目：高中數學 來源： 題型：

平面內哪些點到直線l：x=-2和到點P（2，0）距離之比小于1．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合A={（x，y）丨ax+by=10}，C={（2，4），（4，3）}，若C?A，求實數a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a1=
5
4
，an=
5nan-1
4an-1+n-1
（n≥2）．
（1）求證：{
n
an
-1}為等比數列，并求an；
（2）用數學歸納法證明：a1•a2…an＜
n!
1-
1
5
-
1
52
-…-
1
5n
（n≥2）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知當a＜0時，
2
a
≥-1，
1
a
≤1，則a的取值范圍是
 
．

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