Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若曲線在處的切線方程為，求實數(shù)的值；

（2）設(shè)，若對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)y的導數(shù)，可得切線的斜率，由切線方程可得a的方程，解得a即可；

（2）由題意可得即為，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，求出導數(shù)，令導數(shù)大于等于0，分離參數(shù)a，由二次函數(shù)的最值，即可得到a的范圍；

（3）原不等式等價于，整理得，設(shè)，求得它的導數(shù)m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三種情況加以討論，分別解關(guān)于a的不等式得到a的取值，最后綜上所述可得實數(shù)a的取值范圍．

試題解析：

（1）由，得.

由題意， ，所以.

（2）.

因為對任意兩個不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，

則即恒成立.

問題等價于函數(shù)，即在上為增函數(shù)，

所以在上恒成立.即在上恒成立.

所以，即實數(shù)的取值范圍是.

（3）不等式等價于，整理得.

設(shè)，

由題意知，在上存在一點，使得.

.

因為，所以，令，得.

①當，即時， 在上單調(diào)遞增.

只需，解得.

②當即時， 在處取最小值.

令即，可得.

令，即，不等式可化為.

因為，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③當，即時， 在上單調(diào)遞減，只需，解得.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.