Question

9．如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=1，BC=$\sqrt{3}$，AC⊥DC，CD=$\sqrt{3}$AC．設∠ABC=θ．
（1）若θ=30°，求AD的長；
（2）當θ變化時，求BD的最大值．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，進而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．
（2）設AC=x，CD=$\sqrt{3}$x，在△ABC中，利用余弦定理可求x²=4-2$\sqrt{3}$cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB=$\frac{sinθ}{x}$，進而利用三角函數恒等變換的應用，余弦定理可求BD=$\sqrt{15+12sin（θ-\frac{π}{3}）}$，結合范圍θ∈（0，π），利用正弦函數的圖象和性質可求BD的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，
∴AC²=1+3-2$\sqrt{3}$cos30°=1，
∴AC=1…（2分）
在△ACD中，AD²=AC²+DC²=4AC²=4，
∴AD=2．…（4分）
（2）設AC=x，CD=$\sqrt{3}$x，
在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，
x²=4-2$\sqrt{3}$cosθ，…（5分）
∵$\frac{AC}{sinθ}$=$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{1}{sin∠ACB}$，
∴sin∠ACB=$\frac{sinθ}{x}$．…（7分）
在△BCD中，BD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{3}x）^{2}-2\sqrt{3}•（\sqrt{3}x）cos（\frac{π}{2}+∠ACB）}$=$\sqrt{3+3{x}^{2}+6xsin∠ACB}$
=$\sqrt{3+12-6\sqrt{3}cosθ+6x\frac{sinθ}{x}}$=$\sqrt{15-6\sqrt{3}cosθ+6sinθ}$=$\sqrt{15+12（\frac{1}{2}sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}cosθ）}$=$\sqrt{15+12sin（θ-\frac{π}{3}）}$，…（10分）
∵θ∈（0，π），
∴θ-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），當θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，θ=$\frac{5π}{6}$時BD取到最大值3$\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，勾股定理三角函數恒等變換的應用，正弦函數的圖象和性質在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，考查了數形結合思想，屬于中檔題．