Question

【題目】已知等差數列的前項和為，且，.

（1）求數列的前項和；

（2）是否存在正整數，，使得，，成等比數列？若存在，求出所有的，；若不存在，說明理由；

（3）設，若對一切正整數，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在；（3）.

【解析】

（1）設等差數列的公差為，由題意得，，聯立解得，即可求出數列的通項公式，進而求得

（2）結合求出，，，利用等比數列的性質得到，通過相應的轉換得到，均為偶數，設，，將等式轉化為，通過放縮可得與上式矛盾，所以不存在正整數，使，，成等比數列。

（3）分為偶數和為奇數兩種情況討論，當為偶數時，可設；當為奇數時，設，，再對進行化簡求值，分離參數，通過恒成立問題進一步確定取值范圍。

（1）設等差數列的公差為，

由題意知，①

，②，聯立①②得，

所以數列的通項公式為，，即

（2），，，，

當，，成等比數列時，有，

即，

，，，

，

、均為正整數，為整數，為整數，

則，

一定為偶數，整理得，則一定為偶數，

設，，、均為正整數，，

則轉化為，

，令，則且為整數，

則，，則，

（放縮可得），與上式矛盾，

所以不存在正整數、使，，成等比數列。

（3）由（1）得，

當為偶數時，設，

則，

，

則不等式等價于對一切正整數恒成立，

即，設，，則，單調遞增，，

當為奇數時，設，，

代入不等式，得，即，

又，的最大值為-4，

綜上所述，的取值范圍為