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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

【題目】已知，是的中點．

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若是線段上任意一點，且，求的最小值；

（3）若點是內(nèi)一點，且，求的最小值．

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積等于，可得，以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量加法、減法以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求向量的夾角.

（2）以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.

（3）設(shè)，可得，利用向量的數(shù)量積可得，，再將平方，根據(jù)向量數(shù)量積定義以及基本不等式即可求解.

（1）因為，所以，

以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

令，則，

所以，

設(shè)向量，與向量的夾角為，

，

（2）因為，所以，

以為原點，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

因為，則，

設(shè)

，

當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是．

（3）設(shè)，

，

同理：，

當(dāng)且僅當(dāng)時，所以．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組	頻數(shù)	頻率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	24	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合計	M	1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學(xué)生有240人，試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓左焦點的直線與橢圓交于兩點，直線過坐標(biāo)原點且直線與的斜率互為相反數(shù)，直線與橢圓交于兩點且均不與點重合，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】△ABC在內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了配合新冠疫情防控，某市組織了以“停課不停學(xué)，成長不停歇”為主題的“空中課堂”，為了了解一周內(nèi)學(xué)生的線上學(xué)習(xí)情況，從該市中抽取1000名學(xué)生進行調(diào)査，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖．

（1）為了估計從該市任意抽取的3名同學(xué)中恰有2人線上學(xué)習(xí)時間在[200,300）的概率，特設(shè)計如下隨機模擬的方法：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，依次用0,1,2,3，…9的前若干個數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間在[200,300）的同學(xué)，剩余的數(shù)字表示線上學(xué)習(xí)時間不在[200,300）的同學(xué)；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表線上學(xué)習(xí)的情況．

假設(shè)用上述隨機模擬方法已產(chǎn)生了表中的30組隨機數(shù)，請根據(jù)這批隨機數(shù)估計概率的值；

907 966 191 925 271 569 812 458 932 683 431 257 027 556

438 873 730 113 669 206 232 433 474 537 679 138 602 231

（2）為了進一步進行調(diào)查，用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽出20名同學(xué)，在抽取的20人中，再從線上學(xué)習(xí)時間[350,450）（350分鐘至450分鐘之間）的同學(xué)中任意選擇兩名，求這兩名同學(xué)來自同一組的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為了研究黏蟲孵化的平均溫度（單位：）與孵化天數(shù)之間的關(guān)系，某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數(shù)據(jù)：

組號	1	2	3	4	5	6
平均溫度	15.3	16.8	17.4	18	19.5	21
孵化天數(shù)	16.7	14.8	13.9	13.5	8.4	6.2

他們分別用兩種模型①，②分別進行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖：

經(jīng)計算得，

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除，剔除后應(yīng)用最小二乘法建立關(guān)于的線性回歸方程.（精確到0.1）

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個不同的零點，，（其中），則的取值范圍為__________．

【答案】

【解析】如圖：

，，作出函數(shù)圖象如圖所示

，由有三個不同的零點

，如圖

令

得

為滿足有三個零點，如圖可得

，

點睛：本題考查了函數(shù)零點問題，先由導(dǎo)數(shù)求出兩個函數(shù)的單調(diào)性，繼而畫出函數(shù)圖像，再由函數(shù)的零點個數(shù)確定參量取值范圍，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩根問題來求解，本題需要化歸轉(zhuǎn)化，函數(shù)的思想，零點問題等較為綜合，有很大難度。

【題型】填空題
【結(jié)束】
17

【題目】已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖一塊長方形區(qū)域ABCD,AD=2(km),AB=1(km).在邊AD的中點O處,有一個可轉(zhuǎn)動的探照燈,其照射角∠EOF始終為,設(shè)∠AOE=,探照燈O照射在長方形ABCD內(nèi)部區(qū)域的面積為S.

(1)當(dāng)0≤時,寫出S關(guān)于的函數(shù)表達式;

(2)若探照燈每9分鐘旋轉(zhuǎn)“一個來回”(OE自OA轉(zhuǎn)到OC,再回到OA,稱“一個來回”,忽略OE在OA及OC反向旋轉(zhuǎn)時所用時間),且轉(zhuǎn)動的角速度大小一定,設(shè)AB邊上有一點G,且∠AOG,求點G在“一個來回”中,被照到的時間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)工會利用 “健步行”開展健步走積分獎勵活動．會員每天走5千步可獲積分30分(不足5千步不積分)，每多走2千步再積20分（不足2千步不積分）．記年齡不超過40歲的會員為類會員，年齡大于40歲的會員為類會員．為了解會員的健步走情況，工會從兩類會員中各隨機抽取名會員，統(tǒng)計了某天他們健步走的步數(shù)，并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組，將抽取的類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，類會員的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布表（圖、表如下所示）．