Question

已知函數f（x）=-x（0＜x＜）．
（1）求f（x）的導數f′（x）；
（2）求證：不等式sin³x＞x³cosx在（0，]上恒成立；
（3）求g（x）=-（0＜x≤）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用求導公式和導數的運算法則求解該函數的導函數，注意復合函數導數法則的運用；
（2）通過構造函數，研究構造的函數的導函數完成該不等式的證明問題，注意發揮導數的工具作用；
（3）利用（2）的結論完成該函數最值的求解，注意發揮函數單調性與最值的聯系作用．
解答：解：（1）根據求導的運算法則得出f′（x）=x+sin²xx-1；

（2）由（1）知f′（x）=x+sin²xx-1，其中f（0）=0
令f′（x）=G（x），對G（x）求導數得G′（x）
G′（x）=x（-sinx）+[2sinxcosxx+sin²x（-）x（-sinx）]
=sin³xx＞0在x∈（0，）上恒成立．
故G（x）即f（x）的導函數在（0，）上為增函數，故f′（x）＞f′（0）=0
進而知f（x）在（0，）上為增函數，故f（x）＞f（0）=0，當x=時，sin³x＞x³cosx顯然成立．
于是有sin³x-x³cosx＞0在（0，]上恒成立．

（3）∵由（2）可知sin³x-x³cosx＞0在（0，]上恒成立．
則g′（x）=在（0，]上恒成立．即g（x）在（0，]單增
于是g（x）≤g（）=．故g（x）=-（0＜x≤）的最大值為．
點評：本題考查基本函數導數的求導運算，考查導數工具證明不等式，考查函數最值的求解，充分發揮導數的工具作用，考查學生的轉化與化歸思想．