Question

【題目】已知橢圓的左焦點為且經過點分別是的右頂點和上頂點，過原點的直線與交于兩點（點在第一象限），且與線段交于點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若，求直線的方程；

（3）若的面積是的面積的倍，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用橢圓的定義即可求出的值，從而求出，從而得到答案.

（2）根據題意設出直線方程，聯立方程由根與系數的關系可得，再利用弦長公式即可得到答案.

（3）依題設出點的坐標以及直線的斜率，根據題目條件即可得坐標之間的關系，從而求出直線的斜率，從而求出直線直線的方程.

（1）依題知則橢圓的右焦點為，

因為點在橢圓上，且，

又，所以，所以

所以，

所以橢圓的標準方程為.

（2）因為點在第一象限，所以直線的斜率存在，

設直線的斜率為，則直線的方程為，

設直線 與該橢圓的交點為 ，

由可得，

易知，且，

則

，所以，

又，所以直線的方程為.

（3）設，，則，

易知，.由，，

所以直線的方程為，即.

若的面積是的面積的4倍，

則,由關于原點對稱，可得,

所以，所以即 ① .

設直線的方程為，

由 得，

由 得，

代入①可得,

化簡得，解得，

所以直線的方程為：.