Question

【題目】已知橢圓,圓的圓心在橢圓上，點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線,且交橢圓于兩點(diǎn), 直線交圓于兩點(diǎn), 且為的中點(diǎn), 求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求得的值，然后根據(jù)圓的圓心在橢圓上得到關(guān)于的方程，由此求得的值，從而得到橢圓的方程；（2）首先由題意得的斜率不為零，然后求得當(dāng)垂直軸的面積；當(dāng)不垂直軸時(shí), 設(shè)出直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，由三角形的面積公式化簡(jiǎn)整理，再利用換元法結(jié)合的單調(diào)性求得的面積的取值范圍．

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓 的右焦點(diǎn)．

在橢圓上,．

由得所以橢圓的方程為.

（2）由題意可得的斜率不為零, 當(dāng)垂直軸時(shí),的面積為,

當(dāng)不垂直軸時(shí), 設(shè)直線的方程為：，

則直線的方程為：．

由消去得,所以,

則，

又圓心到的距離得，

又,所以點(diǎn)到的距離點(diǎn)到的距離．

設(shè)為,即，

所以面積，

令,則,,

綜上, 的面積的取值范圍為.